مسئله‌ی توزیع اقتصادی بار

در این پست به بیان یکی از کاربردهای بهینه‌سازی در علوم مهندسی می‌پردازیم. مسئله‌ی توزیع اقتصادی بار، یکی از مسائل مهم در حوزه‌ی بهره‌برداری از سیستم‌های قدرت (نیروگاه‌ها) است. هدف این مسئله، تأمین بار مورد نیاز با کمترین هزینه توسط نیروگاه‌های تولید برق می‌باشد.

تعریف مسئله:
در یک سیستم قدرت شامل $n$ واحد تولیدی که توسط تعدادی خطوط انتقال به مراکز مصرف متصل شد‌ه‌اند، مسئله‌ی توزیع اقتصادی بار به‌صورت «تعیین میزان تولید توان هر نیروگاه با هدف کمینه کردن هزینه‌ی تأمین مجموع بار شبکه» تعریف می‌شود. این مسئله‌ دارای دو صورت شناخته شده است که بسته به در نظر گرفتن یا نگرفتن تلفات انتقال شبکه‌ می‌باشد. در ادامه، فرمولبندی مسئله برای هر دو حالت بیان می‌گردد.

الف)‌ توزیع اقتصادی بار با در نظر گرفتن تلفات انتقال شبکه:

$$\begin{alignat}{3}
 & \text{minimize}\quad\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{F}_{i}}\left( {{P}_{i}} \right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,\left( {{a}_{i}}P_{i}^{2}+{{b}_{i}}{{P}_{i}}+{{c}_{i}} \right) \\
 & \text{subject to} \quad\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{P}_{i}}=D+{{P}_{l}},\\
                 &\quad \quad \quad \quad \quad P_{i}^{min}\le {{P}_{i}}\le P_{i}^{max}.
\end{alignat}$$در مسئله‌ی فوق متغیرهای تصمیم ${{P}_{i}}$ها هستند که بایستی تعیین شوند. ${{P}_{i}}$ میزان توان تولیدی نیروگاه $i$ام است. تابع هدف، مجموع توابع هزینه‌ی واحدهای تولیدی است که یک تابع هدف درجه دوم می‌باشد. در واقع هزینه‌ی تولید توان ${{P}_{i}}$ توسط نیروگاه $i$ام به صورت زیر تعریف می‌شود:$${{F}_{i}}\left( {{P}_{i}} \right)={{a}_{i}}P_{i}^{2}+{{b}_{i}}{{P}_{i}}+{{c}_{i}}$$که در آن ضرایب ${{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}}$ اعدادی حقیقی هستند. لذا تابع هدف مسئله، جمع تمام هزینه‌های واحدهای تولید (نیروگاه‌ها) می‌باشد که باید کمینه شود. این مسئله شامل دو دسته قید است:

- قید تعادل:

به این معنی که مجموع تولید توان توسط تمام نیروگاه‎ها ($\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{P}_{i}}$) باید با مجموع توان مصرفی ($D$) و توان تلف‌شده (${{P}_{l}}$) برابر باشد. رابطه‌ی میان تلفات انتقال انرژی و میزان تولید هر نیروگاه، با استفاده از فیزیک شبکه‌های انتقال بدست می‌آید و بصورت زیر است:$${{P}_{l}}={{P}^{t}}BP=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,\underset{j=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{P}_{i}}{{B}_{ij}}{{P}_{j}}$$این رابطه، به دلیل وجود حاصلضرب ${{P}_{i}}$ها یک رابطه‌‌ی غیرخطی است. ${{B}_{ij}}$ها ضرایب تلفات نامیده می‌شوند.

-‌ قیود عملیاتی واحدها:

به این معنی که میزان تولید توان توسط نیروگاه $i$ام نباید از حدود مشخصی کمتر یا بیشتر باشد. مقادیر $P_{i}^{min},P_{i}^{max}$ به ترتیب حد بالا و پایین تولید توان برای هر نیروگاه می‌باشند.

ب)‌ توزیع اقتصادی بار بدون در نظر گرفتن تلفات انتقال شبکه:$$\begin{alignat}{3}
 & \text{minimize}\quad\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{F}_{i}}\left( {{P}_{i}} \right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,\left( {{a}_{i}}P_{i}^{2}+{{b}_{i}}{{P}_{i}}+{{c}_{i}} \right) \\
 & \text{subject to} \quad\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{P}_{i}}=D,\\
                 &\quad \quad \quad \quad \quad P_{i}^{min}\le {{P}_{i}}\le P_{i}^{max}.
\end{alignat}$$در اینجا، مسئله‌ی حالت (الف) را به دلیل داشتن قیود غیرخطی، حل می‌کنیم.